# Ficha 13

# 1.a)

x <- c(1.1,1.1,1.2,1.3,1.3,1.5,1.5,1.5,1.8,2.2,2.3,2.4,2.5,2.7,2.8,2.9,
       3.4,3.6,3.8,3.8,3.9,4.1,4.3,4.5,4.7,4.7,4.8,4.9,4.9,5.0)

#----------------------------------------------------------------------------
# Usando as equações das aulas.
#----------------------------------------------------------------------------

# Usando T = (Xbar-mu)/s*sqrt(n)

xbar <- mean(x)
s <- sd(x)
n <- length(x)
alfa <- 0.05
mu <- 3.7
t = (xbar-mu)/s*sqrt(n) # T ~ N(0,1) porque n >= 30
p.value <- pnorm(t)
p.value


# Usando Xbar

# T ~ N(0,1) => Xbar ~ N(mu,sigma^2), com sigma aprox. igual a s/sqrt(n).
# Logo, p.value também pode ser calculado da seguinte forma:

p.value <- pnorm(xbar,mu,s/sqrt(n))
p.value

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# Usando t.test()
#----------------------------------------------------------------------------

gama <- 1-alfa
tt <- t.test(x,mu=mu,alternative="less",conf.level=gama)
tt

tt$p.value # Equivalente a pt(t,n-1)


# 1.b)

c <- mu+qnorm(alfa)*s/sqrt(n)
c

# P(Não Rej H0 | H0 falsa) = P(Xbar>=c | mu=mu1)
mu1 = 3.5
t1 = (c-mu1)/s*sqrt(n)
t1 <- round(t1,2)
p <- 1-pnorm(t1)
p


# 1.c)

xbar1 <- 3.3
nmin <- ceiling((s*qnorm(alfa)/(xbar1-mu))^2)
nmin

n2 <- 31
t2 = (xbar1-mu)/s*sqrt(n2)
p.value2 <- pnorm(t2)
p.value2


# 2.a)

# Usando as equações das aulas.
xbar <- 4.23
s <- 1.47
n <- 70
alfa <- 0.05
mu <- 4.7
q <- round(qnorm(alfa/2),2)
c1 <- mu+q*s/sqrt(n)
c2 <- 2*mu-c1
c1
c2

# RC = ]-Inf,c1[ U ]c2,+Inf[
# xbar pertence à RC => Rej. H0.


# 2.b)

t <- (xbar-mu)/s*sqrt(n)
t <- round(t,2)
p.value <- 2*pnorm(t)
p.value


# 2.c)

n1 <- 70
xbar1 <- 4.23
s1 <- 1.47
n2 <- 80
xbar2 <- 3.55
s2 <- 2.34
alfa <- 0.03
t <- (xbar1-xbar2)/sqrt(s1^2/n1+s2^2/n2)
t <- round(t,2)
p.value <- 1-pnorm(t)
p.value


# 3.a)

xi <- 0:3
ni <- c(15,22,16,7)
n <- sum(ni)
xbar <- sum(xi*ni)/n
s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*xbar^2)/(n-1)
s <- sqrt(s2)
alfa <- 0.01
mu <- 1.5
q <- round(qnorm(alfa/2),2)
c1 <- mu+q*s/sqrt(n)
c2 <- 2*mu-c1
c1
c2

# RC = ]-Inf,1.18[ U ]1.82,+Inf[
# xbar=1.25 não pertence à RC => Não Rej. H0.


# 3.b)

# P(Rej H0 | H0 falsa)
mu1 <- 1.1
t1 <- (c1-mu1)/s*sqrt(n)
t2 <- (c2-mu1)/s*sqrt(n)
t1 <- round(t1,2)
t2 <- round(t2,2)
1-(pnorm(t2)-pnorm(t1))


# 3.c)

nA <- 60
xbarA <- 1.25
sA <- 0.968
nB <- 70
xbarB <- 1.53
sB <- 2.74
alfa <- 0.02
t <- (xbarA-xbarB)/sqrt(sA^2/nA+sB^2/nB)
t <- round(t,2)
p.value <- pnorm(t)
p.value


# 4.a)

ai <- c(0,5,10,15)
bi <- c(5,10,15,20)
xi <- (ai+bi)/2
ni <- c(18,17,16,19)
n <- sum(ni)
xbar <- sum(xi*ni)/n
s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*xbar^2)/(n-1)
s <- sqrt(s2)
mu <- 8
t <- (xbar-mu)/s*sqrt(n)
t <- round(t,2)
p.value <- 1-pnorm(t)
p.value


# 4.b)

nA <- 70
xbarA <- 10.07
sA <- 5.76
nB <- 60
xbarB <- 8.34
sB <- 4.01
alfa <- 0.05
q <- qnorm(1-alfa)
q <- round(q,3)
c <- q*sqrt(sA^2/nA+sB^2/nB)
c
xbarA-xbarB

# RC = ]1.42,+Inf[
# xbarA-xbarB=1.73 pertence à RC => Rej. H0


# 4.c)

# P(Rej H0 | H0 falsa)
muA_muB <- 1
t <- (c-muA_muB)/sqrt(sA^2/nA+sB^2/nB)
t <- round(t,2)
1-pnorm(t)


# 5.a)

alfa <- 0.02
muP <- 5
nP <- 20
xbarP <- 5.4
sP <- 1.5
df <- nP-1
t <- (xbarP-muP)/sP*sqrt(nP)
t <- round(t,3)
p.value <- 1-pt(t,df)
p.value


# 5.b)

alfa <- 0.05
nB <- 15
xbarB <- 4.9
sB <- 1.8
s2 <- ((nP-1)*sP^2+(nB-1)*sB^2)/(nP+nB-2)
s <- sqrt(s2)
df <- nP+nB-2
q <- qt(1-alfa,df)
q <- round(q,3)
c <- q*s*sqrt(1/nP+1/nB)
c
xbarP-xbarB

# RC = ]0.94,+Inf[
# xbarP-xbarB=0.5 não pertence à RC => Não rej. H0


# 5.c)

# P(Não rej H0 | H0 falsa)
muP_muB <- 1.5
t <- (c-muP_muB)/(s*sqrt(1/nP+1/nB))
t <- round(t,3)
pt(t,df)